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奥数及逻辑推理关于蚂蚁爬绳的问题
闲不住网zhouyifei周老师摘自百度
关于蚂蚁爬绳的问题
一只蚂蚁，以每秒1厘米的速度在弹性绳子上爬行，绳子以每秒2厘米的速度被拉长。绳长2厘米。请问：蚂蚁能否从绳子的一端爬到另一端？
初略估计问题的答案，给出你的想法（不需要严密推导） 如果你认为自己够聪明，不妨写出完整的证明过程或是算法。 一个参考答案： 不能，推导如下（t为秒数）： 1.绳子的长度：2t+2； 2.蚂蚁爬过的距离：t； 3.蚂蚁爬过的距离占绳子长度的比例：t/（2t+2）< 1/2; 4.所以蚂蚁永远爬不过绳子的中点（只有蚂蚁过了中点，其速度才能超过绳子增长速度）； 5.所以蚂蚁不能到达另一端。 另一个答案： 可以做出来的,用微分方程 绳头的速度永远是2cm/s 故绳子上距离起点s远的一点的速度为 2*[s/(2t+2)] 所以 蚂蚁的速度为 v(t)=1+ 2*[v(t)积分]/(2t+2) v(t)(t+1)-t-1=[v(t)积分] t*dv/dt+v+dv/dt-1=v (t+1)dv/dt=1 dv=d(t+1)/(t+1) 又v(0)=1 所以v=ln(t+1)+1 由于v(3)>2cm/s,所以必然会超越绳头 还有一种解答： 可以这样想： 因为绳子是按比例伸长的，所以... 可以看成绳子的长度不变，是蚂蚁在减速运动。 蚂蚁的初速度是 v0=1cm/s，速度v（cm/s）与时间t（秒）的关系是 v=1/(2t+2). （v-t图像是双曲线） 当t=e^4时，曲线与坐标轴围成的图形面积是2 所以回答“能”,时间是e^4，约等于54.6秒 请读者自行判断了！文摘时间: 2013-04-20 10:57:15 编辑: zhouyifei
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